已知函数f(x)=a+blnxx+1在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（I）求 / 微思试题库

试题：

已知函数f(x)=

a+blnx

x+1

在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜

恒成立，求实数m的取值范围．

函数的最值与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答

（Ⅰ）∵f(x)=

a+blnx

x+1

，∴f′(x)=

(x+1)-(a+blnx)

(x+1)2

∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1
∴有

2b-a

=-1

，∴

a=2

b=-1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

2-lnx

x+1

(x＞0)
由f(x)＜

及x＞0，可得

2x-xlnx

x+1

＜m
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，∴g(x)=

(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)

(x+1)2

1-x-lnx

(x+1)2

令h（x）=1-x-lnx，∴h′(x)=-1-

＜0(x＞0)，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）_max=g（1）=1
要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．

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