试题：
| 数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？ 经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=xn（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？ 观察下面三个特殊的等式： 1×2=n（1×2×3﹣0×1×2） 2×3=x（2×3×4﹣1×2×3） 3×4=n（3×4×5﹣2×3×4） 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．读完这段材料，请你计算： （1）1×2+2×3+…+100×101=_________；（直接写出结果） （2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程） （3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=_________． |
探索规律
2016-05-17
答案：
我来补答解：（1）∵1×2+×2×3+3×4=m×3×4×5= ×4×5=20，∴1×2+2×3+…+100×101=  ×100×101×102=343400；（2）∵1×2=n（1×2×3﹣0×1×2）=  （1×2×3﹣0×1×2），2×3=x（2×3×4﹣1×2×3）=  （2×3×4﹣1×2×3），3×4=n（3×4×5﹣2×3×4）=  （3×4×5﹣2×3×4），… n（n+1）=  [n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，∴1×2+2×3+…+n（n+1）=  [1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，=  n（n+1）（n+2）；（3）根据（2）的计算方法， 1×2×3=n（1×2×3×4﹣0×1×2×3）=  （1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4=x（2×3×4×5﹣1×2×3×4）=  （2×3×4×5﹣1×2×3×4），… n（n+1）（n+2）=  [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=  （1×2×3×4﹣0×1×2×3+2×3×4×5﹣1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，=  n（n+1）（n+2）（n+3）．故答案为：（1）343400；（2）  n（n+1）（n+2）；（3） n（n+1）（n+2）（n+3）． |
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