试题：
如图，已知△OFQ的面积为S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范围；
（Ⅱ）设|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|
OQ
|取最小值时，求椭圆的方程．
椭圆的标准方程及图象, 向量数量积的运算, 用数量积表示两个向量的夹角 2016-05-25

答案：

我来补答
（Ⅰ）令＜
OF
，
FQ
＞=θ，
∵
OF
•
FQ
=1，∴|
OF
| |
FQ
| cosθ=1，∴|
OF
| |
FQ
| =
1
cosθ
，
∵S=
1
2
|
OF
| |
FQ
| sin(π-θ)=
1
2
|
OF
| |
FQ
| sinθ，
∴S=
1
2
tanθ，∵
1
2
＜S＜
3
2
，∴1＜tanθ＜
3
，
∵θ∈[0，π]，∴
π
4
＜θ＜
π
3
．

（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），
且
S=
1
2
cn
S=
3
4
c
，∴n=
3
2
．
∵
OF
=(c，0)，
FQ
=(m-c，n)，
∴
OF
•
FQ
=c(m-c)=1．
∴m=c+
1
c
，∴Q(c+
1
c
，
3
2
)．
∴|
OQ
|2 =(c+
1
c
)2+
9
4
，
∵c≥2，
∴当c=2时，|
OQ
|最小，此时Q（
5
2
，
3
2
），
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
∴
c2=4=a2-b2
(
5
2
)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1
，
∴a2=10，b2=6．
∴所求椭圆为
x2
10
+
y2
6
=1．
 
 
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