在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点（1）求证 / 微思试题库

试题：

在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点
（1）求证：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题 2016-05-25

答案：

我来补答

证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
则A'（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），…（2分）
则

DA′

=(2，0，2)，

=(1，2，0)，
设平面A'DE的法向量是

=(a，b，c)，
则

•

DA′

=2a+2c=0

•

=a+2b=0

，取

=(-2，1，2)，…（4分）

=(0，-2，1)，∵

•

=-2+2=0，∴

⊥

，
所以，CF∥平面A'DE．…（6分）
（2）由正方体的几何特征可得

=(0，2，0)是面AA'D的法向量
又由（1）中向量

=(-2，1，2)为平面A'DE的法向量
故二面角E-A'D-A的平面角θ满足；
cosθ=

•

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值为

…（8分）

展开全文阅读