A

如图，先找到一个平面总是保持与BD₁垂直，即BD₁⊥面ACB₁，又点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP与BD₁垂直，得到点P的轨迹为面ACB₁与面BCC₁B₁的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是CB₁．
解：如图，先找到一个平面总是保持与BD₁垂直，
连接AC，AB₁，B₁C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有BD₁⊥面ACB₁，
又点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点P的轨迹为面ACB₁与面BCC₁B₁的交线段CB₁．
故答案为线段CB₁．