试题：
如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求：  (1)设f(x)为绳子最短长度的平方，求f(x)表达式； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． |
柱体、椎体、台体的表面积与体积, 球的表面积与体积, 组合体的表面积与体积
2016-05-24
答案：
我来补答（1）f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)（2）  （3）32 |
试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长，  ∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝  ×360°＝ ×360°＝90°，(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝  (0≤x≤4)，∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．在△SAM中，∵S△SAM＝  SA·SM＝AM· SR，∴SR＝  ＝ (0≤x≤4)．(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为f(4)＝32. 点评：解决此类问题的关键是正确转化，将所要求解的问题转化为熟悉的数学问题进行解决. |
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