A

试题分析：根据正方体的几何特征知，平面ACD₁是边长为的正三角形，且球与与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD₁三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△ACD₁内切圆的半径是×tan30°=，

则所求的截面圆的面积是π××=，
故选A．
点评：中档题，关键是想象出截面图的形状，利用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。