试题：
函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1 x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明； （3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围． |
函数的定义域、值域, 函数的单调性、最值, 函数的奇偶性、周期性, 一元二次不等式及其解法
2016-05-24
答案：
我来补答| （1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0． （2）证明：令x1=x2=﹣1，有f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）． 解得f（﹣1）=0． 令x1=﹣1，x2=x，有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x）， ∴f（﹣x）=f（x）．∴f（x）为偶函数． （3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3． ∴f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3即f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64） （*） ∵f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组  或 或  或 ∴3＜x≤5或﹣  ≤x＜﹣ 或﹣ ＜x＜3．∴x的取值范围为{x|﹣  ≤x＜﹣ 或﹣ ＜x＜3或3＜x≤5}． |
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