试题: 已知f(x)=xn-x-nxn+x-n,n∈N*,试比较f(2)与n2-1n2+1的大小,并且说明理由. 不等式的定义及性质, 数学归纳法 2016-05-24 答案: 我来补答 f(2)=(2)n-(2)-n(2)n+(2)-n=2n-12n+1=1-22n+1,而n2-1n2+1=1-2n2+1,∴f(2)与n2-1n2+1的大小等价于2n与n2的大小.当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;当n=5时,25>52.猜想当n≥5时,2n>n2.以下用数学归纳法证明:①当n=5时,由上可知不等式成立;②假设n=k(k≥5)时,不等式成立,即2k>k2,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2k2,又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2,∴n=k+1时,不等式成立.综合①②对n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.∴当n=1或n≥5时,f(2)>n2-1n2+1;当n=3时,f(2)<n2-1n2+1;当n=2或4时,f(2)=n2-1n2+1. 展开全文阅读