已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集 / 微思试题库

试题：

已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇数．
（I）求第n个集合中最小的数a_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=

an-1

，求数列{

2bn

}的前n项和T_n．

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答

解（ I）设第n个集合中最小的数为a_n，则第n-1个集合中最小的数为a_n-1．
又第n-1个集合中共有n-1个数，且依次增加2，
∴a_n-1+2（n-1）=a_n，即a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）…4分
∴a_n-1-a_n-2=2（n-2），
a_n-2-a_n-3=2（n-3）…
a₂-a₁=2．
以上各式相加得a_n-a₁=2×

(n-1)(1+n-1)

=n²-n，
又a₁=1，
∴a_n=n²-n+1（n≥2）…6分
验证n=1时a₁适合上式
∴a_n=n²-n+1…7分
（ II）∵a_n=n²-n+1，
∴b_n=

an-1

n2-n+1-1

=n-1…8分
∴T_n=

+…+

n-1

2n-1

+…+

n-1

2n-1

①
又

T_n=

+…+

n-2

2n-1

n-1

②
①-②得，

T_n=

+…+

2n-1

n-1

∴T_n=2×

(1-

2n-1

)

n-1

2n-1

=2-

2n-2

n-1

2n-1

即T_n=2-

2n-2

n-1

2n-1

…12分

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