试题：
已知数列{an}是首项为a1=
1
4
，公比q=
1
4
的等比数列．设bn+2=3log
1
4
an（n∈N*），数列{cn}满足cn=
1
bn•bn+1
．
（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．
等差数列的定义及性质, 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答
证明：（Ⅰ）∵数列{an}是首项为a1=
1
4
，公比q=
1
4
的等比数列，
∴an=
1
4
•(
1
4
)n-1=(
1
4
)n，
∵bn+2=3log
1
4
an=3log
1
4
(
1
4
)n=3n（n∈N*），
∴bn=3n-2；
∴bn+1-bn=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴数列{bn}是以1为首项，3为公差的成等差数列．
（Ⅱ）∵cn=
1
bn•bn+1
=
1
(3n-2)[3(n+1)-2]
=
1
3
（
1
3n-2
-
1
3n+1
），
∵数列{cn}的前n项和为Sn，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=
1
3
[（1-
1
4
）+（
1
4
-
1
7
）+…+（
1
3n-2
-
1
3n+1
）]
=
1
3
（1-
1
3n+1
）
=
n
3n+1
．
 
 
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