已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n（n-1）（n∈N*）．（I）求 / 微思试题库

试题：

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）设Tn=

a1+1

a2+1

+…+

an+1

2n+1

，求T_n的值．

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答

（I）因为S_n=na_n-2（n-1）n，
所以当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-2）（n-1）．a_n=S_n-S_n-1=na_n-2（n-1）n-（n-1）a_n-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即a_n-a_n-1=4（4分）
所以数列a_n是首项a₁=1，公差d=4的等差数列，且a_n=1+（n-1）4=4n-3（n∈N^*）．（6分）
（II）因为

an+1

2n+1

4n-3+1

2n+1

2n-1

，
所以Tn=

a1+1

a2+1

+…+

an+1

2n+1

2n-1

．①（8分）

Tn=

+…+

2n-3

2n-1

2n+1

．②..（10分）
①-②得

Tn=

2n-1

2n+1

[1-(

)n-1]

2n-1

2n+1

2n-1

2n+1

2n+3

2n+1

．
所以Tn=3-

2n+3

（12分）

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