在数列{an}中，a1=1、a2=14，且an+1=(n-1)ann-an(n≥2)．（Ⅰ / 微思试题库

试题：

在数列{a_n}中，a₁=1、a2=

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ）求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ）设bn=

an•an+1

an+1

，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

．

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答

（Ⅰ）（1）∵a₁=1、a2=

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)，
∴a₃=

2-a2

，a4=

2a3

3-a3

故可以猜想an=

3n-2

，下面利用数学归纳法加以证明：
（i）显然当n=1，2，3，4时，结论成立，
（ii）假设当n=k（k≥4），结论也成立，即ak=

3k-2

那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：ak+1=

(k-1)ak

k-ak

(k-1)×

3k-2

3(k+1)-2

即当n=k+1时，结论也成立，
综上，an=

3n-2

成立．
（Ⅱ）证明：bn=

an•an+1

an+1

(

3n+1

3n-2

)
所以b₁+b₂+…+b_n=

[(

-1)+(

)+…+(

3n+1

3n-2

)]=

(

3n+1

-1)
所以只需要证明

(

3n+1

-1)＜

只需证明

3n+1

＜

+1
只需证明：3n+1＜3n+2

+1
只需证明0＜2

，显然成立
所以对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

．

展开全文阅读