试题：
已知数列{an}各项均为正数，前n项和Sn满足Sn=
1
2
a2n
+
1
2
an-3，（n∈N*），数列{bn}满足：点列An（n，bn）在直线2x-y+1=0
（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn为数列{cn}的前n项和，且cn=bn•2an-2，求Tn；
（Ⅲ）若对任意的n∈N*不等式
an+1
(1+
1
b1+1
)•(1+
1
b2+1
)…(1+
1
bn+1
)
-
an
n+2+an
≤0恒成立，求正实数a的取值范围．
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答
（Ⅰ）由已知Sn=
1
2
a2n
+
1
2
an-3，
∴2Sn=
a2n
+an-6（1）
当n≥2时，2Sn-1=
a2n-1
+an-1-6（2）
两式相减整理得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，----（2分）
注意到an＞0，∴an-an-1-1=0，∴an=n+2，
又当n=1时，a1=S1，解得a1=3适合，∴an=n+2，----（3分）
点An（n，bn）在直线l：y=2x+1上，∴bn=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，
∴Tn=c1+c2+…+cn=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
错位相减得Tn=(2n-1)•2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵对任意的n∈N*不等式
an+1
(1+
1
b1+1
)•(1+
1
b2+1
)…(1+
1
bn+1
)
-
an
n+2+an
≤0恒成立，
由a＞0，即a≤
1
2n+4
(1+
1
b1+1
)(1+
1
b2+1
)(1+
1
b3+1
)…(1+
1
bn+1
)，---（9分）
令f（n）=
1
2n+4
(1+
1
b1+1
)(1+
1
b2+1
)(1+
1
b3+1
)…(1+
1
bn+1
)，--（10分）
∴f（n+1）=
1
2n+4
(1+
1
b1+1
)(1+
1
b2+1
)(1+
1
b3+1
)…(1+
1
bn+1
)•(1+
1
bn+1+1
)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，----（12分）
f(n)min=f(1)=
5
6
24
．∴0＜a≤
5
6
24
．----（14分）
 
 
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