试题：
已知函数f(x)=
x
2x+1
，数列{an}满足a1=f（1），an+1=f（an）（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=an•an+1，求数列{bn}的前n项和Sn，并比较Sn与
n
2n+18
．
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答
（Ⅰ）a1=f（1）=
1
2+1
=
1
3
，a2=f（a1）=f（
1
3
）=
1
3
2
3
+1
=
1
5
；
（Ⅱ）∵an+1=
an
2an+1
，
∴
1
an+1
=
2an+1
an
=2+
1
an

∴
1
an+1
-
1
an
=2
∵a1=
1
3
，∴
1
a1
=3
∴数列{
1
an
}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴
1
an
=2n+1，
∴an=
1
2n+1

（Ⅲ）bn=an•an+1=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)，
∴Sn=
1
2
(
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n+1
-
1
2n+3
)=
n
6n+9

n=1时，S1=
1
15
，
n
2n+18
=
1
20
，Sn大于
n
2n+18
；
n=2时，S2=
2
21
，
n
2n+18
=
1
11
，Sn大于
n
2n+18
，
n=3时，S3=
1
9
，
n
2n+18
=
3
26
，Sn小于
n
2n+18
；
n=4时，S4=
4
33
，
n
2n+18
=
2
17
，Sn大于
n
2n+18
；
猜想n≥4时，Sn大于
n
2n+18
；
证明如下：①n=4时，S4=
4
33
，
n
2n+18
=
2
17
，Sn大于
n
2n+18
，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即
k
6k+9
＞
k
2k+18
，∴2k＞6k-9
n=k+1时，有2k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴
k+1
6(k+1)+9
＞
k+1
2k+1+18
，结论成立
由①②可知，结论成立．
 
 
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