试题：
已知数列{an}为等差数列，a3=3，a1+a2+…+a6=21，数列(
1
an
)的前n项和为Sn，若对一切n∈N*，恒有S2n-Sn＞
m
16
，则m能取到的最大正整数是______．
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答
设数列{an}的公差为d，由题意得，
a1+2d=3
6a1+15d=21
，解得
a1=1
d=1
，
∴an=n，且
1
an
=
1
n
，
∴Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，
令Tn=S2n-Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，
则Tn+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+2
，
即Tn+1-Tn=
1
2n+2
+
1
2n+1
-
1
n+1
＞
1
2n+2
+
1
2n+2
-
1
n+1
=0
∴Tn+1＞Tn，
则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n=1处取最小值，
∴T1=S2-S1=
1
2
，
∵对一切n∈N*，恒有S2n-Sn＞
m
16
成立，
∴
1
2
＞
m
16
即可，解得m＜8，
故m能取到的最大正整数是7．
 
 
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