已知数列{an}是等比数列，a4=e，如果a2，a7是关于x的方程：ex2+kx+1=0， / 微思试题库

试题：

已知数列{a_n}是等比数列，a₄=e，如果a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

)两个实根，（e是自然对数的底数）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设：b_n=lna_n，S_n是数列{b_n}的前n项的和，当：S_n=n时，求n的值；
（3）对于（2）中的{b_n}，设：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n的最大值，及相应的n的值．

等比数列的通项公式, 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答

（1）∵a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

)两个实根，
∴a₂a₇=

∴a₁²q⁷=

①
∵a₄=e，②

①

②

得a₁q⁴=

=a₅
∴q=e^-3
∴数列的通项是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13
（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，
∴数列{b_n}是一个等差数列
∴数列{b_n}的前n项的和S_n是

[10+(-3n+13)]n

n2+

n，
∴S_n=n时，有

n2+

n=n，
∴n=7，n=0（舍去）
∴n=7即n的值为7．
（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5
∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，从第五项开始，这个数列的项就是负数，
∵T₁=280，
T₂=308
T₃=300
T₄=310
T₅一定小于T₄，
T₆一定小于T₅，依此类推
∴T_n的最大值310，相应的n的值是2．

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