在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan(n∈N*)．（Ⅰ）数列 / 微思试题库

试题：

在数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设cn=

(n∈N*)．
（Ⅰ）数列{c_n}是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若a₁=2，

2n+1

，求数列{c_n}的前n项和．

等比数列的定义及性质, 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-24

答案：

我来补答

（Ⅰ）{c_n}是等比数列．
证明：设{a_n}的公比为q₁（q₁＞0），{b_n}的公比为q₂（q₂＞0），
则

cn+1

bn+1

an+1

•

bn+1

•

an+1

≠0，故{c_n}为等比数列．
（Ⅱ）数列{lna_n}和{lnb_n}分别是公差为lnq₁和lnq₂的等差数列．
由条件得

nlna1+

n(n-1)

lnq1

nlnb1+

n(n-1)

lnq2

2n+1

，即

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

2n+1

．
故对n=1，可得

lna1

lnb1

，又a₁=2，可得b₁=8，
于是

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

2n+1

可变为
（2lnq₁-lnq₂）n²+（4lna₁-lnq₁-2lnb₁+lnq₂）n+（2lna₁-lnq₁）=0对任意的正整数n恒成立
于是

2lnq1-lnq2=0

4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=0

2lna1-lnq1=0.

将a₁=2代入得q₁=4，q₂=16，b₁=8．
从而有cn=

8•16n-1

2•4n-1

=4n．所以数列{c_n}的前n项和为4+42++4n=

(4n-1)．

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