试题：
已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，问Tn＞
1000
2009
的最小正整数n是多少？
等比数列的通项公式, 等差数列的通项公式 2016-05-24

答案：

我来补答
（1）由已知f（1）=a=
1
3
，∴f（x）=(
1
3
)x，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c=(
1
3
)-nc，
∴a1=f（1）=
1
3
-c，a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-
2
9
，a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
2
27

数列{an}是等比数列，应有
a2
a1
=
a3
a2
=q，解得c=1，q=
1
3
．
∴首项a1=f（1）=
1
3
-c=-
2
3

∴等比数列{an}的通项公式为an=(-
2
3
) (
1
3
)n-1=-2(
1
3
)n．
（2）∵Sn-Sn-1=(
 Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）
又bn＞0，
Sn
＞0，∴
Sn
-
Sn-1
=1；
∴数列{
Sn
}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴
Sn
=1+（n-1）×1=n                
∴Sn=n2
 当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1
又n=1时也适合上式，
∴{bn}的通项公式bn=2n-1．
（2）
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)×(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
∴Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1

由Tn＞
1000
2009
，得
n
2n+1
＞
1000
2009
，n＞
1000
9
，
故满足Tn＞
1000
2009
的最小正整数为112．
 
 
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这些题目你会做吗？
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