试题：
已知函数f(x)=log2
x
-log
1
2
x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-
9
2
，n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=
Sn
n+λ
，cn=bn•2bn，若非零常数λ使得{bn}为等差数列，求数列{cn}的前n项和Tn．
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）, 等差数列的通项公式, 数列的概念及简单表示法 2016-05-24

答案：

我来补答
（I）∵f(x)=log2
x
-log
1
2
x=log2x
1
2
+log2x=
1
2
log2x+log2x=
3
2
log2x
∴f(2an)=6n-
9
2
=
3
2
log2(2an)=
3
2
an，
故an=4n-3
（II）由（I）得Sn=2n2-n，要使bn=
Sn
n+λ
=
2n(n-
1
2
)
n+λ
为等差数列的通项公式
则bn=
2n(n-
1
2
)
n+λ
应是关于n的一次函数，又由λ≠0
故λ=-
1
2

此时bn=2n，cn=bn•2bn=2n•4n，
故Tn=2•41+2×2•42+…+2（n-1）•4n-1+2n•4n，…①
4Tn=0+2•42+4•43+…+2（n-1）•4n+2n•4n+1，…②
①-②得：
-3Tn=2•41+2•42+…+2•4n-2n•4n+1=（
2
3
-2n）4n+1-
8
3

∴Tn=（
2
3
n-
2
9
）4n+1+
8
9
 
 
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