试题：
设数列{an}是首项为6，公差为1的等差数列；Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n
（1）求{an}及{bn}的通项公式an和bn；
（2）若对任意的正整数n，不等式
a
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
n-2+an
≤0恒成立，求正数a的取值范围．
等差数列的通项公式 2016-05-24

答案：

我来补答
（1）an=a1+（n-1）d=6+n-1=n+5
又当n=1时，b1=S1=3；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1
上式对n=1也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*），总之，an=n+5，bn=2n+1
（2）将不等式变形并把an=n+5代入得：a≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)，g(n)=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
∴g(n+1)=
1
2n+5
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn+1
)
∴
g(n+1)
g(n)
=
2n+3
2n+5
(1+
1
bn+1
)=
2n+3
2n+5
•
2n+4
2n+3
=
2n+4
2n+5
2n+3

又∵
(2n+5)(2n+3)
＜
(2n+5)+(2n+3)
2
=2n+4
∴
g(n+1)
g(n)
＞1，即g（n+1）＞g（n）
∴g（n）随n的增大而增大，g(n)min=g(1)=
1
5
(1+
1
3
)=
4
5
15
，
∴0＜a≤
4
5
15
 
 
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