已知{an}为等差数列，且a2=-1，a5=8．（I）求数列{|an|}的前n项和；（II / 微思试题库

试题：

已知{a_n}为等差数列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求数列{|a_n|}的前n项和；
（II）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和．

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）, 等差数列的通项公式 2016-05-24

答案：

我来补答

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₂=-1，a₅=8，所以

a1+d=-1

a1+4d=8

解得a₁=-4，d=3，…（2分）
所以a_n=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此|an|=|3n-7|=

-3n+7，n=1，2

3n-7，n≥3

…（4分）
记数列{|a_n|}的前n项和为S_n，
当n=1时，S₁=|a₁|=4，
当n=2时，S₂=|a₁|+|a₂|=5，
当n≥3时，S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+

(n-2)[2+(3n-7)]

n2-

n+10，
又当n=2时满足此式，
综上，Sn=

4，n=1

n2-

n+10，n≥2

…（8分）
（II）记数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，由（I）可知，a₁=-4，d=3，a_n=3n-7，
则Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan，①
2Tn=22a1+23a2+24a3+…+2nan-1+2n+1an，②
①-②可得-Tn=2a1+d(22+23+…+2n)-2n+1an
=-8+3×

22(1-2n-1)

1-2

-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-8+3（2ⁿ⁺¹-4）-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-20-（3n-10）2ⁿ⁺¹，
故T_n=20+（3n-10）2ⁿ⁺¹…（13分）

展开全文阅读