试题：
| 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2 009根．现将它们堆放在一起， (Ⅰ)若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？ (Ⅱ)若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于7层，圆钢没有剩余． (1)共有几种不同的方案？ (2)已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地（即最下层占用面积最少）? |
等差数列的定义及性质
2016-05-24
答案：
我来补答| 解：(Ⅰ)当纵断面为正三角形时，设共堆放n层， 则从上到下每层圆钢根数是以1为首项，1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根， 从而由  且n∈N*得，当n=62 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢。 (Ⅱ)(1)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层， 则从上到下每层圆钢根数是以x为首项，1为公差的等差数列， 从而nx+  n(n-1)=2009，即n(2x+n-1)=2×2009=2×7×7×41， 因n-1与n的奇偶性不同， 所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1， 从而由上述等式得：  或 或 或 ，所以共有4种方案可供选择． (2)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少， 所以由(1)可知： 若n= 49，则x=17，说明最七层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240  cm，显然大于4m，不合条件，舍去； 若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长分别为280cm，680cm，从而梯形之高为200  cm，而200 +10＜400，所以符合条件； 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。 |
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