F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2=1(a＞1)的左右焦点，直线l与C相交于A，B两点 / 微思试题库

试题：

F₁，F₂分别是椭圆C：

+y2=1(a＞1)的左右焦点，直线l与C相交于A，B两点
（1）直线l斜率为1且过点F₁，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，，求a值
（2）若直线l方程为y=2x+2，且OA⊥OB，求a值．

圆锥曲线综合, 等差数列的定义及性质 2016-05-24

答案：

我来补答

（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴|AB|=

y=x+c

+y2=1

⇒（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，
x1+x2=-

2a2c

1+a2

，x1x2=

a2(a2-2)

1+a2

由|AB|=

1+k2

|x1-x2|得

4a4(a2-1)

(1+a2)2

4a2(a2-2)

1+a2

解得a=

…（6分）
（2）联立直线l与椭圆方程：

y=2x+2

+y2=1

⇒（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，
x1+x2=-

8a2

1+4a2

，x1x2=

3a2

1+4a2

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0⇒5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0
代入得

15a2

1+4a2

32a2

1+4a2

+4=0，
∴a=

…（12分）

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