已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3，（1）求证：数列{an-12 / 微思试题库

试题：

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1，a₁=3，
（1）求证：数列{

an-1

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）令

bn-1

an-1

，Tn为数列{b_n}的前n项的积，求证：T_n＞

2n+1

．

等差数列的定义及性质 2016-05-24

答案：

我来补答

（1）an+1=2an+2n+2-1⇒an+1-1=2(an-1)+2n+2⇒

an+1-1

2n+1

an-1

+2，
∴{

an-1

}是公差为2，首项为1的等差数列
（2）由（1）知：

an-1

=2n-1，
∴an=(2n-1)•2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=n+6+(2n-3)•2n+1
（3）∵

bn-1

an-1

=2n-1
∴bn=

2n-1

，
∵T_n=b₁b₂b₃•…•b_n
当n=1时，T1=b1=2＞

2×1+1

不等式成立
假设n=k（k∈N*）不等式b1•…•bk＞

2k+1

成立，
则当n=k+1时，有b1•…•bk•bk+1＞

2k+1

•

2k+2

2k+1

2k+2

2k+1

∵

2k+2

2k+1

4k2+8k+4

2k+1

＞

4k2+8k+3

2k+1

(2k+1)(2k+3)

2k+1

2k+3

∴b1•…•bk+1＞

2(k+1)+1

即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．

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