试题：
（文）数列{an}中a1=0，  ，（1）求证数列 为等差数列，并求出公差；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn<n-ln(n+1)；（3）设 ，证明：对任意正整数n，m，都有 . |
等比数列的定义及性质, 等差数列的定义及性质
2016-05-24
答案：
我来补答（1）略 （2）略 |
（1）∵  即 ，∴公差d=-1.且首项为  ，故是等差数列.（2）∵  ，∴ .设f(x)=x-ln(x+1),(x>0)，则  ，f(x)在(0,+∞)↑，且f(x)在[0,+∞)上连续，∴f(x)>f(0)=0,∴x>0时x>ln(x+1), ∴ ，即 .∴an<1-ln(n+1)+lnn，∴Sn<(1-ln2+ln1)+(1-ln3+ln2)+…+[1-ln(n+1)+lnn]=n-ln(n+1)故Sn<n-ln(n+1). （3）∵  ，∴ ，当 时，则 ，∴ ，即n≥4；又当  时，则 ，即n≤3，因此得b1<b2<b3<b4>b5>b6>…，又∵b1=0，n≥2时，bn>0，∴0≤bn≤b4.∴对任意正整数n、m，都有 |
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