试题：
（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分． 已知负数  和正数 ，且对任意的正整数n，当 ≥0时, 有[ ,  ]=[  , ]；当<0时, 有[, ]= [,   ]．（1）求证数列{  }是等比数列；（2）若  ，求证  ；（3）是否存在  ，使得数列 为常数数列？请说明理由 |
等比数列的定义及性质, 等差数列的定义及性质
2016-05-24
答案：
我来补答（1）当≥0时，bn+1－an+1= -an= ； 当<0, bn+1－an+1= bn-= ． 所以，总有bn+1－an+1= (bn-an), 又  ，可得 ， 所以数列｛bn－an｝是等比数  列． ………………4分（2）①由 ，可得 ，故有 ，∴  ， ，从而 ，故当n=1时， 成立． ………………6分②假设当  时，成立，即 ， 由  ，可得 ，  , 故有 ，∴  , ………………9分 ,故有 ∴  ,  ，故 ∴当  时，成立．综合①②可得对一切正整数n，都有 ． ………………12分（3）假设存在 ，使得数列为常数数列，由（1）可得bn－an=  ()n-1，又 ，故bn=  ()n-1， ………………14分由  恒成立，可知≥0,即()n ≥0恒成立，即2n≤  对任意的正整数n恒成立， ………………16分又 是正数，故n≤ 对任意的正整数n恒成立，因为 是常数，故n≤不可能对任意正整数n恒成立．故不存在 ，使得数列为常数数列． ………………18分 |
略 |
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