试题：
已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N） 顺次为一次函数  图象上的点， 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N） 顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1）， 对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形.⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列； ⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式； ⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由. |
等差数列的定义及性质
2016-05-24
答案：
我来补答（1）  (nÎN)；（2）xn= （3）存在直角三形，此时a的值为  、 、 . |
（I）因为 (nÎN),易根据等差数列的定义判断出{yn}为等差数列.（II）解本小题的关键是先根据xn+1-xn=2为常数,可确定  的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而求出 .(III) 要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2  =2( )Þxn+1-xn=2()，当n为奇数时，xn+1-xn=2(1-a)；当n为偶数时，xn+1-xn=2a.然后分别研究即可. （1） (nÎN),yn+1-yn= ,∴{yn}为等差数列 (4¢)（2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列， ∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a， ∴xn= （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2 =2()Þxn+1-xn=2()当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a). Þ2(1-a)=2( ) Þa= (n为奇数，0＜a＜1) (*)取n=1，得a= ，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a. ∴2a=2( )Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解. 综上可知，存在直角三形，此时a的值为 、、. (18¢) |
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