【错解分析】由对称轴是x= ,可知2× +φ使f(x)取最值,即 +φ=kπ+ .(k∈Z),从而可求φ;由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2,直线5x-2y+c=0的斜率为 >2说明直线和f(x)的图象不能相切. 【正解】(Ⅰ)解法1:因为x= 是函数y=f(x)的图像的对称轴, 所以sin(2· +φ)=±1, 则有 +φ=kπ+ ,k∈Z. 因为-π<φ<0, 所以φ=- 解法2:函数y="sin" 2x图像的对称轴为x= + ,k∈Z. y=sin(2x+φ)的图像由y="sin" 2x的图像向左平移 得到, 所以有 + - = k∈Z. ∵-π<φ<0,∴φ= . 解法3:因为x= 是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f( -x)=f( +x). 即sin[2( -x)+φ]=sin[2( +x)+φ], 于是有2( -x)+φ=2kπ+2( +x)+φ(舍去), 或[2( -x)+φ]+[2( +x)+φ]=2kπ+π. 因为-π<φ<0,∴φ= (Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)知φ=- π,因此y=sin(2x- π), 由题意得2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ ,(k∈Z), 所以函数y=sin(2x- π)的单调增区间为[kπ+ kπ+ π],k∈Z, 解法2:由y′=2cos(2x- π)≥0可得,2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ k∈Z, 所以函数y=sin(2x- π)的单调增区间为[kπ+ ,kπ+ π] k∈Z, (Ⅲ)解法1:因为|y′|=|[sin(2x- π)]′|=|2cos(2x- π)|≤2, 所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2,2],而直线5x-2y+c=0的斜率 >2, 所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x- π)的图象不相切. 解法2:令F(x)=sin(2x- π)- , 则F′(x)=2cos(2x- π)- , ∵-1≤cos(2x- π)≤1,F′(x)≠0. 则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x- π)的图像不相切. 【点评】本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题,第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义,涉及的都是一些基本的概念,也是每个同学应该掌握的. |