试题：
已知M（1+cos2x，1），N(1，
3
sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），且y=
OM
•
ON
（其中O为坐标原点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值．
向量数量积的运算, 正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等） 2016-05-23

答案：

我来补答
（1）y=
OM
•
ON
=1+cos2x+
3
sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+
3
sin2x+1+a．
（2）由（1）可得f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1+a，
由2kπ-
π
2
＜2x+
π
6
＜2kπ+
π
2
，解得kπ-
π
3
＜x＜kπ+
π
6
(k∈Z)；
由2kπ+
π
2
＜2x+
π
6
＜2kπ+
3π
2
，解得kπ+
π
6
＜x＜kπ+
2π
3
(k∈Z)，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
](k∈Z)，
单调递减区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
](k∈Z)．
（3）f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1+a，
因为0≤x≤
π
2
，
所以
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时，f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，即a=1．
 
 
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