试题：
已知函数f（x）=sin
x
2
cos
x
2
+
3
cos2
x
2
．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．
余弦定理, 已知三角函数值求角 2016-05-23

答案：

我来补答
（1）法1：由f（x）=0，
得sin
x
2
cos
x
2
+
3
cos2
x
2
=cos
x
2
（sin
x
2
+
3
cos
x
2
）=0，
由cos
x
2
=0，得
x
2
=kπ+
π
2
，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sin
x
2
+
3
cos
x
2
=0，得tan
x
2
=-
3
，
∴
x
2
=kπ-
π
3
，即x=2kπ-
2π
3
（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ-
2π
3
（k∈Z）}；
法2：f（x）=
1
2
sinx+
3
2
（cosx+1）
=
1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2
=sin（x+
π
3
）+
3
2
，
由f（x）=0，得sin（x+
π
3
）=-
3
2
，
可得x+
π
3
=kπ-（-1）k
π
3
（k∈Z），即x=kπ-（-1）k
π
3
-
π
3
（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ-（-1）k
π
3
-
π
3
（k∈Z）}；
（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
∴由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
1
2
，
又B为三角形的内角，
∴0＜B≤
π
3
，
由题意得x=B，即x∈（0，
π
3
]，
f（x）=
1
2
sinx+
3
2
（cosx+1）
=
1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2
=sin（x+
π
3
）+
3
2
，
∵x+
π
3
∈（
π
3
，
2π
3
]，
则此时函数f（x）的值域为[
3
，
3
2
+1]．
 
 
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