试题：
在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+
1
2
sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．
正弦定理, 余弦定理, 同角三角函数的基本关系式 2016-05-23

答案：

我来补答
（Ⅰ）∵sinAcosC+
1
2
sinC=sinB
由正弦定理及余弦定理得a×
a2+b2-c2
2ab
+
1
2
c=b
∴a2=b2+c2-bc
由余弦定理得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2

∵A∈（0，π），
∴A=
π
3

另∵sinAcosC+
1
2
sinC=sinB
∴sinAcosC+
1
2
sinC=sinAcosC+cosAsinC
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
从而cosA=
1
2

∵A∈（0，π），
∴A=
π
3

（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得  
4=a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc
4≥(b+c)2-
3
4
(b+c)2=
1
4
(b+c)2
∴b+c≤4，当且仅当b=c=2时取“=”．
∴当b=c=2时，△ABC周长的最大值为6
 
 
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