试题：
| 已知函数f（x）=ex（x2+ax﹣a），其中a是常数． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围． |
导数的概念及其几何意义, 函数的最值与导数的关系
2016-05-23
答案：
我来补答| 解：（Ⅰ）由f（x）=ex（x2+ax﹣a）可得，f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]， 当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e． 所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1）， 即y=4ex﹣3e． （Ⅱ） 令f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]=0， 解得x=﹣（a+2）或x=0． 当﹣（a+2）≤0，即a≥﹣2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0， 所以f（x）是[0，+∞）上的增函数． 所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根． 当﹣（a+2）＞0，即a＜﹣2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表  由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（﹣（a+2））=  ．因为 函数f（x）是（0，﹣（a+2））上的减函数，是（﹣（a+2），+∞）上的增函数， 且当x≥﹣a时，有f（x）≥e﹣a（﹣a）＞﹣a． 所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根， k的取值范围必须是（  ，﹣a]． |
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