试题：
已f（x）=
1
3
x3+ax2+
8
9
x+bg（x）=
1
3
x3+m2x-
2
3
m+1，且函数f（x）在x=
2
3
处取得极值
20
81
．
（I）求f（x）的解析式与单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=3f（x1）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
函数的最值与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答
（I）f′(x)=x2+2ax+
8
9
，f′(
2
3
)=
4
9
+
4
3
a+
8
9
=0得a=-1，
且f(
2
3
)=
20
81
，b=0，则 f(x)=
1
3
x3-x2+
8
9
x
f′(x)=x2-2x+
8
9
令f′(x)＞0得x＞
4
3
或x＜
2
3
；
f′(x)＜0得
2
3
＜x＜
4
3
；
∴f(x)的递增区间为(-∞，
2
3
)，(
4
3
，+∞)； 
递减区间为(
2
3
，
4
3
)

（ II）由（1）得
   x -1 （-1，
2
3
）
2
3
 （
2
3
，
4
3
）
4
3
 （
4
3
，2）		 2
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） -
20
9
 增
20
81
 减
16
81
 增
4
9
所以当x1∈[1，2]时，-
20
9
≤f（x1）≤
4
9
，-
20
3
≤3f（x1）≤
4
3
…（10分）
假设对任意的x1∈[-1，2]时都存在x0∈[0，1]时使得g（x0）=3f（x1）成立，
设g（x0）的最大值为T，最小值为t，则要求T≥
4
3
，t≤-
20
3

又g'（x）=x2+m2，所以当x0∈[0，1]时时T=g(1)=
1
3
+m2-
2
3
m+1≥
4
3
，m≥
2
3
，或m≤0
且t=g(0)=-
2
3
m+1≤-
20
3
，m≥
23
2
．
综上，m≥
23
2
；
 
 
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