试题：
已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）当a=b时，求数列{un}的前n项和Sn；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
un
un-1
．
函数的极值与导数的关系, 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-23

答案：

我来补答
（Ⅰ）当a=b时，un=（n+1）an．这时数列{un}的前n项和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+（n+1）an． ①
①式两边同乘以a，得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+（n+1）an+1②
①式减去②式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3++an-（n+1）an+1
若a≠1，（1-a）Sn=
a(1-an)
1-a
-（n+1）an+1+a，
Sn=
a(1-an)
(1-a)2
+
a-(n+1)an+1
1-a
=
(n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a
(1-a)2

若a=1，Sn=2+3++n+（n+1）=
n(n+3)
2
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当a=b时，un=（n+1）an，
则
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
(n+1)an
nan-1
=
lim
n→∞
a(n+1)
n
=a．
当a≠b时，un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+
b
a
+(
b
a
)2+(
b
a
)n]=an
1-(
b
a
)n+1
1-
b
a
=
1
a-b
（an+1-bn+1）
此时，
un
un-1
=
an+1-bn+1
an-bn
．
若a＞b＞0，
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
an+1-bn+1
an-bn
=
lim
n→∞
a-b(
b
a
)n
1-(
b
a
)n
=a．
若b＞a＞0，
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
a(
a
b
)n-b
(
a
b
)n-1
=b．
 
 
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