试题：
| 已知函数f（x）=mx3+2nx2-12x的减区间是（-2，2）。 （1）试求m，n的值； （2）求过点A（1，-11）且与曲线y=f（x）相切的切线方程； （3）过点A（1，t）是否存在与曲线y=f（x）相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由。 |
导数的概念及其几何意义, 导数的运算, 函数的极值与导数的关系, 一元二次方程及其应用
2016-05-23
答案：
我来补答| 解：（1）由题意知：f'（x）=3mx2+4nx-12＜0的解集为（-2，2）， 所以，-2和2为方程3mx2+4nx-12=0的根， 由韦达定理知  ，即m=1，n=0。（2）∵f（x）=x3-12x， ∴f'（x）=3x2-12， ∵f（1）=13-12·1=-11， 当A为切点时，切线的斜率k=f'（1）=3-12=-9， ∴切线方程为y+11=-9（x-1），即9x+y+2=0； 当A不为切点时，设切点为P（x0，f（x0）），这时切线的斜率是k=f'（x0）=  切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）， 即  因为过点A（1，-11），  ∴  ∴x0=1或  ，而x0=1为A点，即另一个切点为  ∴  切线方程为  ，即45x+4y-1=0，所以，过点A（1，-11）的切线方程为9x+y+2=0或45x+4y-1=0。 （3）存在满足条件的三条切线 设点P（x0，f（x0））是曲线f（x）=x3-12x的切点， 则在P点处的切线的方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0） 即  因为其过点A（1，t）， 所以，  由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设g（x）=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可 设g'（x）=6x2-6x=0， ∴x=0或x=1分别为g（x）的极值点， 当x∈（-∞，0）和（1，+∞）时，g'（x）>0， g（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上分别单增， 当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单减， 所以，x=0为极大值点，x=1为极小值点， 所以要使曲线与x轴有3个交点， 当且仅当  即 解得-12＜t＜-11。 |
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