试题：
| 已知函数f（x）=x3﹣3ax+b在x=1处有极小值2． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数  在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围． |
函数的零点与方程根的联系, 函数的极值与导数的关系
2016-05-23
答案：
我来补答| 解：（I）f'（x）=3x2﹣3a 依题意有  ，解得  ，此时f'（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），x∈（﹣1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值 ∴f（x）=x3﹣3x+4 （Ⅱ）f'（x）=3x2﹣3 ∴  当m=0时，g（x）=﹣2x+3， ∴g（x）在[0，2]上有一个零点  （符合），当m≠0时， ①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点． 则  ，得 ②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外， 则g（0）g（2）≤0，即（﹣m+3）（3m﹣1）≤0， 解得  ，或m≥3经检验m=3有2个零点，不满足题意． 综上：m的取值范围是  ，或 ，或m＞3 |
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