试题：
| 设x=3是函数f(x)=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点， （1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； （2）设a＞0，  ，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)-f(ξ2)|＜1成立，求a的取值范围。 |
函数的单调性、最值, 函数的单调性与导数的关系, 函数的极值与导数的关系
2016-05-23
答案：
我来补答解：（1）∵ ，∴   ，由题意得：  ，即  ，b=-2a-3，∴  且 ，令  得 ， ∵x=3是函数  的一个极值点， ∴  ，即a≠-4，故a与b的关系式为b=-2a-3（a≠-4）， 当a＜-4时，  ，由 得单增区间为：（3，-a-1）；由  得单减区间为：（-∞，3）和（-a-1，+∞）；当a＞-4时，  ，由 得单增区间为：（-a-1，3）；由  得单减区间为：（-∞，-a-1）和（3，+∞）；（2）由（1）知：当a＞0时，  ，f(x)在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减， ， ，∴f(x)在[0，4]上的值域为  ；易知  在[0，4]上是增函数，∴g(x)在[0，4]上的值域为  ，由于  ，又∵要存在  ，使得 成立，∴必须且只须  ，解得： ；所以，a的取值范围为  。 |
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