试题：
已知函数f（x）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，g（x）= f′（x）。（1）证明：当t＜  时，g（x）在R上是增函数；（2）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数； （3）证明：  。 |
函数的单调性与导数的关系, 函数的最值与导数的关系
2016-05-23
答案：
我来补答解：（1）由题设得 ， 又由  ≥ ，且t≤ 得t＜ 即  ＞0由此可知，g（x）为R上的增函数。 （2）因为  ＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时  ＜0，即t＞ 在闭区间[a，b]上成立即可因此y= 在闭区间[a，b]上连续，故在闭区[a，b]上有最大值，设其为k，t＞k时，  ＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即  在闭区间[a，b]上为减函数。（3）  即  易得F（t）≥  令  则 易知  当x＞0时，  ＞0当x＜0，  ＜0故当x=0时，  取最小值， 所以  ≥ ，于是对任意x、t，有  ≥ ，即 ≥ 。 |
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