试题：
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+
3
2
c＜c2恒成立，求c的取值范围．
函数的单调性与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：
f′(-1)=0
f′(2)=0
即
3-2a+b=0
12+4a+b=0

解得
a=-
3
2
b=-6

∴f(x)=x3-
3
2
x2-6x+c，f′（x）=3x2-3x-6
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（-1，2）；增区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者.f(-1)=
7
2
+c；f(3)=-
9
2
+c
∴当x=-1时，f（x）取得最大值．
要使f(x)+
3
2
c＜c2，只需c2＞f(-1)+
3
2
c，即：2c2＞7+5c
解得：c＜-1或c＞
7
2
．
∴c的取值范围为(-∞，-1)∪(
7
2
，+∞)．
 
 
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