试题：
已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2(a∈R，a≠0)．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点A(1，-
1
2
a)，设B(x1，y1)(x1＞1)是曲线C：y=f(x)图角上的点，曲线C上是否存在点M（x0，y0）满足：①x0=
1+x1
2
；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．
函数的单调性与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答
（I）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=
1
x
-ax=
1-ax2
x
，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜
a
a

f（x）在（0，
a
a
）内单调递增，
由f′（x）＜0和x＞0得x＞
a
a
，f（x）在（
a
a
，+∞）内单调递减，
综上所述：当a＞0时，f（x）的单调增区间是（0，
a
a
），单调递减区间是（
a
a
，+∞）；
（II）假设存在满足条件的点M，
∵A在曲线C上，∴KAB=
y1+
1
2
a
x1-1
=
lnx1-
1
2
ax21
+
1
2
a
x1-1
，
f′（x）=
1
x
-ax，
∴f′（x0）=f′（
x1+1
2
）=
2
x1+1
-a•
x1+1
2
，由已知KAB=f′（x0），
∴
lnx1-
1
2
ax21
+
1
2
a
x1-a
=
2
x1+1
-a•
x1+1
2
，
化简整理可得lnx1=
2(x1-1)
x1+1
=2-
4
x1+1
，
即lnx1+
4
x1+1
＞2
∴lnx1+
4
x1+1
＞2
∴lnx1=2-
4
x1+1
不成立，即满足条件的点M是不存在的；
 
 
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