已知函数g(x)=px-px-2lnx（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围 / 微思试题库

试题：

已知函数g(x)=px-

-2lnx
（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；
（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求证：

ln2

ln3

+…+

lnn

＜

[(n-1)-(

+…

)]（n∈N^*，n≥2）

函数的单调性与导数的关系, 函数的最值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答

（1）求导函数，可得g′(x)=

px2-2x+p

（x＞0）
∵g（x）在其定义域内的单调函数，
∴

p＞0

△=4-4p2≤0

或

p＜0

△=4-4p2≤0

或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）证明：设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=

-1=

1-x

（x＞0）
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，k（x）取极大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）证明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有

lnx

≤

x-1

=1-

，
令x=n2得

ln(n2)

2lnn

＜1-

，即

lnn

＜

(1-

)，
∴

ln2

ln3

+…+

lnn

＜

[(1-

)+(1-

)+…+(1-

)]
=

[(n-1)-(

+…

)]--------（12分）

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