试题：
设函数f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4
（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）内无极值，求a的取值范围．
函数的单调性与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答
f′（x）=ax2+2bx+c，
由题意可得：1，4 是方程ax2+2bx+c-9=0的两根，
所以b=-
5
2
a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-
2
3
x3+5x2+x．
（2）依题意：f（x）在（-∞，+∞）上单调，
所以f′（x）ax2+2bx+c≥0恒成立，
则4b2-4ac≤0，即25a2-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范围为（0，4]．
 
 
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