已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+a-1x+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（ / 微思试题库

试题：

已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+

a-1

+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在实数a，使以F（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立？
（2）当a≤

时，讨论F（x）的单调性．

函数的单调性与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答

（1）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-

a-1

-1
∵以F（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，
∴F′(x)=-

ax2-x+1-a

≤1（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x²-x-（a-1）≥0①在x＞0时恒成立．
当a≤-1时，①在x＞0时不恒成立
a＜-1时，△=4a²-3，设u（x）=（a+1）x²-x-（a-1），则

a+1＞0

△＜0

或

a+1＞0

△＞0

u(0)=1-a≥0

x=-

-1

2(a+1)

＜0

∴-

＜a＜

；
（2）F′(x)=-

ax2-x+1-a

(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
当a=0时，h（x）=1-x，x∈（0，1）时，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）时，h′（x）≤0
∴F（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是[1，+∞）；
当a≠0时，由F′（x）=0可得ax²-x+1-a=0
∴x1=1，x2=

a-1

（i）当a=

时，x₁=x₂，h（x）≥0，F′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减；
（ii）当0＜a＜

时，

-1＞1＞0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，

-1）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（

-1，+∞）时，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减，
∴函数的单调递减区间是（0，1），（

-1，+∞）；单调递增区间是（1，

-1）；
（iii）当a＜0时，

-1＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数的单调递减区间是（0，1）；单调递增区间是（1，+∞）．

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