已知函数f（x）=2ax3-3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（-∞，0） / 微思试题库

试题：

已知函数f（x）=2ax³-3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f^′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

函数的单调性与导数的关系, 函数的最值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答

（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax-1）．
因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数． …（6分）
（Ⅱ）由题意，g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax²+（2a-1）x-1]．…（8分）
令g′（x）=0，即ax²+（2a-1）x-1=0．①
由于△=4a²+1＞0，可设方程①的两个根为x₁，x₂，
由①得x₁x₂=-

，
由于a＞0，所以x₁x₂＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x-x₁）（x-x₂）．
当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，
所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；
当x₂≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），
综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值． …（10分）
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1），
即0≥8a-9，解得a≤

，
又因为a＞0，所以a∈（0，

]． …（13分）

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