已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）曲线C：y=f（x）经过点P（ / 微思试题库

试题：

已知函数f(x)=

x3+ax2+bx，a，b∈R．
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下试求函数g(x)=m[f(x)-

x](m∈R，m≠0)的极小值；
（3）若f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0＜a+b＜2．

函数的单调性与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答

（1）对函数求导可得，f′（x）=x²+2ax+b，
由题设知：

f(1)=

+a+b=2

f′(1)=1+2a+b=2

解得

a=-

（4分）
（2）由（1）知g(x)=

(x3-2x2)，g′（x）=mx（x-

），
当m＞0时，g（x）在（-∞，0），（

，+∞）上递增，在（0，

）上递减，
所以g（x）的极小值为g（

）=-

m；
当m＜0时，g（x）在（-∞，0），（

，+∞）上递减，在（0，

）上递增，
所以g（x）的极小值为g（0）=0；（8分）
（3）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴

f′(1)=1+2a+b＞0，(1)

f′(2)=4+4a+b＞0， (2)

1＜-a＜2，(3)

△=4(a2-b)＞0. (4)

（11分）
由（1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a²+a，
∴-2＜a＜-1，又a2+a=(a+

)2-

＜2，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范围是（0，2）（14分）

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