已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y / 微思试题库

试题：

已知函数f(x)=

lnx+k

(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间．

函数的单调性与导数的关系 2016-05-23

答案：

我来补答

（1）因为函数f(x)=

lnx+k

，所以f′(x)=

(lnx+k)′•ex-(lnx+k)•ex

e2x

•ex-lnx•ex-k•ex

e2x

，
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
所以f^′（1）=0，即

e-e•ln1-ke

=0，解得k=1；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′(x)=

(

-lnx-1)ex

e2x

，
令g（x）=

-lnx-1，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，
所以当x＞1时，f^′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f^′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．
故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

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