(I) 在上递增，在上递减，当时,函数在定义域上单调递增。
(II) 时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
(III) 证明见解析

解：(I) 函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.
当时，，
在上恒成立.

即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时，
时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当时，
令则
在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得