试题：
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞  ．（Ⅰ）判断函数F(x)＝ 在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论． |
函数的单调性与导数的关系
2016-05-23
答案：
我来补答（Ⅰ）F(x)＝ 在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn). |
试题分析：（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝  ，∵f ′(x)＞，x＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x1)＜F(x1＋x2)，即 ＜ ，而x1＞0，所以f(x1)＜ f(x1＋x2)，同理f(x2)＜ f(x1＋x2)，两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜ ，而x1＞0，所以f(x1)＜ f(x1＋x2＋…＋xn)，同理f(x2)＜ f(x1＋x2＋…＋xn)，……f(xn)＜  f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得证.试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝ ．∵f ′(x)＞ ，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0． 故F(x)＝ 在(0，＋∞)上是增函数．（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2． 由（Ⅰ），知F(x)＝ 在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即 ＜．∵x1＞0，∴f(x1)＜ f(x1＋x2)．同理可得f(x2)＜ f(x1＋x2)．以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)． （Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为： 设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)． ∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0， ∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn． 由（Ⅰ），知F(x)＝ 在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即 ＜．∵x1＞0， ∴f(x1)＜ f(x1＋x2＋…＋xn)．同理可得 f(x2)＜ f(x1＋x2＋…＋xn)，f(x3)＜  f(x1＋x2＋…＋xn)，…… f(xn)＜ f(x1＋x2＋…＋xn)．以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)． |
展开全文阅读