试题：
已知函数f（x）= ，g（x）=alnx，a∈R。（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程； （2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式； （3）对（2）中的φ（a）和任意的a>0，b>0，证明：  。 |
基本不等式及其应用, 导数的概念及其几何意义, 函数的最值与导数的关系
2016-05-23
答案：
我来补答解：（1） 由已知得  解得  ，x=e2∴两条曲线交点的坐标为（e2，e） 切线的斜率为  ∴切线的方程为  。（2）由条件知  ∴  （i）当a>0时，令h'（x）=0，解得x=4a2 ∴当0＜x＜ 当x>4a2时，h'（x）>0，h（x）在（4a2，+∞）上递增 ∴x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点 ∴最小值φ（a）= h（4a2）=2a-aln4a2=2a（1-ln2a）。 （ii）当a≤0时，  h（x）在（0，+∞）上递增，无最小值。 故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）= 2a（1-ln2a）（a >0）。 （3）由（2）知φ'（a）=-21n2a，对任意的a>0，b>0    故由①②③得  。 |
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